基础：分量与列
一个向量 $v = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix}$ 由其分量定义；$v_1$ 是第一个分量（通常表示水平位移），$v_2$ 是第二个分量（垂直方向）。这种纵向排列不仅具有美学意义，更是现代计算中矩阵-向量乘法的前提。
标量就是一个数字。当你计算 $2v$ 时，你需要将每个分量都乘以 2：$2 \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2v_1 \\ 2v_2 \end{bmatrix}$。负的标量（如 $-1$）会反转向量的方向。
向量加法按分量进行：$v + w = \begin{bmatrix} v_1 + w_1 \\ v_2 + w_2 \end{bmatrix}$。几何上，这遵循“首尾相接”法则，即依次跟随一个向量后另一个，最终得到它们的和。
线性组合：$cv + dw$
这是线性代数中最关键的构造。它代表了通过缩放和相加基向量来到达空间中任意一点的能力。例如：
$$c \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + d \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c + 2d \\ c + 3d \end{bmatrix}$$
如果我们设 $c=1$ 且 $d=1$，就会得到和 $v + w = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$。如果设 $c=0$ 且 $d=0$，我们就达到了 零向量: $\mathbf{0} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$。请注意，向量 $\mathbf{0}$ 与标量 $0$ 不同；它是坐标系的原点。